La siguiente afirmación es obvia: una cebra no es una duna de arena. Sin embargo, las dunas, como los fondos de los ríos o ciertas agrupaciones de nubes, presentan ondulaciones regulares similares a la decoración listada de la cebra o de algunos peces e insectos. Así, si el “es” de la primera aseveración lo restringimos, grosso modo, a las formas y patrones, aquélla deja de ser tan obvia, porque, de hecho, cebras y dunas resultan “ser” iguales.
¿Es todo esto sólo hablar por no callar? La respuesta sería afirmativa si no pudiésemos decir nada más, pero, por suerte, o quizá por desgracia para el lector, este artículo se extiende un poco más para intentar explicar que cebras y dunas “son” iguales.
La pregunta pertinente es si podemos comprender unificadamente la formación de patrones listados en sistemas de naturaleza tan dispar como los antes mencionados. Admitamos que una cosa se entiende cuando se puede modelizar matemáticamente mediante un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones reproducen lo observado. Idealmente, los modelos permiten predecir nuevos comportamientos que, sin embargo, se observan en experimentos controlados. Pues bien, estos modelos existen –después hablaremos de ellos– y predicen resultados de experimentos concretos.
Siguiendo con los patrones listados, hay multitud de sistemas experimentales que los exhiben. Valga como ejemplo los sistemas de reacción-difusión en química y biología, entre los cuales podemos mencionar la reacción CIMA (chlorite-iodide-malonic acid) entre reservas de reactivos continuamente renovados, o el crecimiento de poblaciones de bacterias (como Escherichia coli, Salmonella typhimurium o Bacillus subtilis) bajo el suministro controlado de nutrientes.
Llama la atención que un sistema químico y uno biológico puedan ser clasificados dentro de una misma categoría. En el caso que nos ocupa, eso quiere decir que la dinámica que conduce a la formación de patrones en ambos sistemas viene regida por los mismos fenómenos básicos: reacción y difusión. Por supuesto, en un caso la reacción involucra reactivos químicos y en el otro nutrientes y seres vivos. Pero resulta aún más sorprendente el hecho de que tanto sistemas de reacción-difusión, como otros sistemas en los que no existen reacción o difusión o ninguna de las dos (como la convección de Rayleigh-Bénard en fluidos, o la luz emitida por sistemas ópticos no lineales), sean descritos, en condiciones adecuadas, por ecuaciones iguales. Eso quiere decir que existe unauniversalidad en el fenómeno de la formación de patrones espaciales y que los detalles microscópicos (en el sentido de los procesos elementales que ocurren en un sistema particular) pierden relieve en favor de leyes macroscópicas que gobiernan el sistema como un todo. Es decir, las estructuras macroscópicas son la manifestación de un comportamiento colectivo sinergético, resultado de la cooperación y la competición de la dinámica de los elementos microscópicos.
Sin embargo, la universalidad de que hablamos no se restringe a los patrones listados, ¡si no todo eso sería muy aburrido! Un mismo sistema, sometido a condiciones diferentes, puede desarrollar patrones más complicados, como por ejemplo estructuras hexagonales, rómbicas, cuasicristalinas, estructuras localizadas (solitones, oscilones, breathers, etc.) o incluso comportamientos turbulentos (caos espaciotemporal). Desde el punto de vista de la modelización, ocurre lo mismo: un mismo modelo, dependiendo del valor numérico que se asigne a los parámetros que aparecen en él (y que es donde se registra, básicamente, la información sobre el sistema particular), permite reproducir los diversos patrones que se observan en los sistemas reales.
¿Cuál es, entonces, la base de la que tenemos que partir para modelizar estas estructuras? Si lo que queremos es una descripción universal, tendría que haber bastante, para comprender la formación, evolución y las propiedades de los patrones, con tener en cuenta un conjunto de elementos genéricos que han de ser necesariamente comunes a sistemas tan dispares. En esta descripción se caracteriza el estado del sistema mediante una función del espacio y del tiempo, usualmente llamada parámetro de orden, y se construye la ecuación que gobierna su evolución. A partir del parámetro de orden es posible determinar la evolución de la distribución espacial de las magnitudes de interés de un problema particular (las concentraciones de reactivos, la población de bacterias, la luz emitida por un láser, la distribución de pigmentos en la piel de la cebra, etc.). Por supuesto, estas leyes universales deberían poder ser obtenidas a partir de leyes microscópicas específicas de cada sistema.
¿Cuáles son estos elementos que comparten los sistemas formadores de patrones que tienen que ser incorporados en su descripción unitaria? Un rasgo común a todos los sistemas mencionados es que son disipativos y se encuentran fuera del equilibrio. Es decir, son sistemas abiertos que interaccionan con el entorno y ganan y pierden energía continuamente. Por eso, a los patrones que aparecen en él se les llama, genéricamente, estructuras disipativas. Hay más ingredientes en el problema, pero, para entenderlos, tendremos que hablar con un poco más de detalle. Veamos.
La evolución espaciotemporal de cualquier sistema viene regida por un conjunto de ecuaciones diferenciales que determinan unívocamente el estado del sistema en un instante cualquiera, a partir de unas condiciones iniciales. Cuando las ecuaciones de evolución del sistema son lineales, es decir, cuando las variables aparecen en ellas multiplicadas únicamente por constantes, rige el llamado principio de superposición. En virtud de éste, cualquier combinación lineal de soluciones de las ecuaciones es a su vez una solución. En términos más físicos, eso implica que, en un sistema lineal, el efecto último de la acción combinada de dos causas diferentes es la mera superposición de los efectos de cada causa tomada individualmente. Así, el principio de superposición impide que el sistema exhiba comportamientos inesperados de carácter sinérgico. Resulta esencial, pues, que la interacción tenga un carácter no lineal para que la cooperación o la competición entre los elementos constituyentes puedan tener lugar. ¿Pero cómo aparece la no linealidad en los sistemas?
En realidad, hay pocas leyes realmente lineales en la naturaleza. Que una ley sea lineal significa que existe una proporcionalidad exacta entre causa y efecto: a valor doble de la causa corresponde un valor doble del efecto. El carácter lineal de las leyes suele ser, sin embargo, una aproximación. Consideremos, por ejemplo, un muelle: si no ejercemos en él ninguna fuerza, está en reposo, que es el estado de equilibrio. Si ahora alargamos el muelle, vemos que aparece una fuerza de reacción que tiende a acortarlo y, por tanto, a devolverlo a la posición de equilibrio, y que aparece una oscilación al soltarlo. Cuando el desplazamiento es lo suficientemente pequeño, la fuerza le resulta proporcional (ley de Hooke) y es, por tanto, lineal. Pero cuando el desplazamiento no es tan pequeño, la ley de Hooke ya no se verifica. En esta situación, para alargarlo el doble tenemos que hacer una fuerza que no será el doble que antes: la fuerza adquiere una dependencia no lineal con el desplazamiento. Valga este ejemplo para afirmar que la mayoría de los sistemas son intrínsecamente no lineales cuando se los aleja lo bastante del estado de equilibrio. Pero hay otras formas de introducir la no linealidad, como mediante mecanismos de retroalimentación, con los que la causa modifica su valor en función del efecto. Así pues, la presencia de términos no lineales en las ecuaciones de evolución de los sistemas no es, ni de lejos, un fenómeno extraordinario. Respecto a la forma específica de la no linealidad, hay, no hace falta decirlo, infinitas posibilidades, pero, a menudo, aquélla resulta relativamente poco importante en el sentido de que sólo modifica el detalle de los resultados.
Por otra parte, como las estructuras disipativas muestran un alto grado de orden espacial, es necesaria la existencia de algún mecanismo de transferencia de información desde un punto a otro del espacio. Dicho de otra forma, es imprescindible que haya algún mecanismo de no localidad. Ejemplos de ello son la difusión en sistemas químicos o la difracción en sistemas ópticos.
Por último, y como ya se avanzó, los sistemas disipativos pierden energía, lo que hace que tiendan al equilibrio térmico, donde todas las estructuras desaparecen. Por eso resulta imprescindible aportar energía al sistema para mantenerlo lejos del equilibrio térmico, que es el dominio en el que la no linealidad puede provocar la ruptura espontánea de simetría y hacer aparecer comportamientos complejos.
Con estos elementos (aportación y disipación de energía, no localidad y no linealidad) se pueden formular ecuaciones de evolución del parámetro de orden, relativamente sencillas, algunas de las cuales, como la de Ginzburg-Landau o la de Swift-Hohenberg, representan el papel de paradigmas de ciencia no lineal. A menudo, estas ecuaciones se introducen a partir de argumentos puramente heurísticos. Esto tiene que ser así necesariamente cuando se consideran sistemas muy complicados de los que se desconoce el detalle de las leyes microscópicas que los rigen (piensen, por ejemplo, en la formación de estructuras en colonias bacterianas). Lo mismo pasa cuando se trata de sistemas en que las ecuaciones microscópicas, aunque bien conocidas, son tan complicadas que su estudio resulta inabordable. En estos casos las ecuaciones de parámetro de orden representan, de facto, el papel de leyes que gobiernan la formación de las estructuras disipativas. No deja de ser sorprendente que las leyes microscópicas puedan ser ignoradas.
Afortunadamente, en otras ocasiones las ecuaciones de parámetro de orden pueden ser formalmente deducidas a partir de primeros principios. Un ejemplo lo constituyen los sistemas ópticos no lineales. Estas deducciones sirven para dar una base conceptual más firme a las ecuaciones de parámetro de orden (que en estos casos son deducidas y no postuladas), porque muestran rigurosamente el comportamiento sinergético de una multitud de elementos. Con todo, no deja de ser fascinante que cantidades ingentes de partículas sujetas a las ciegas fuerzas de la naturaleza sean capaces de organizarse en patrones de actividad cooperativa descriptibles en términos de uno o unos pocos parámetros de orden.
Vemos, pues, que en la ciencia no lineal existe un cambio de enfoque respecto a la ciencia tradicional, ya que, al menos en cierto sentido, se ha pasado del enfoque analítico que ha dominado la ciencia desde el Renacimiento, a un enfoque más global, holístico, en que se considera el sistema como un todo.
Insistimos en esta idea: una de las enseñanzas que podemos extraer de este cambio de enfoque es la oposición existente entre lo microscópico, entendido como la dinámica individual de cada constituyente de un conjunto autoorganizado, y la dinámica del conjunto. La dinámica microscópica viene regida por leyes que dependen del tipo de interacción particular (electromagnética, química, mecánica, etc.), pero este carácter específico se diluye en el comportamiento macroscópico, ya que éste viene regido por leyes universales. Por supuesto, no es lo mismo un sistema químico que óptico (ni una cebra que una duna), pero la diferencia aparece únicamente en los coeficientes de las ecuaciones de parámetro de orden y no en su estructura. Así, los sistemas macroscópicos autoorganizados se comportan siguiendo leyes que les son propias y que son prácticamente independientes de las leyes específicas del nivel inferior de organización, el nivel microscópico.
¿Es todo esto sólo hablar por no callar? La respuesta sería afirmativa si no pudiésemos decir nada más, pero, por suerte, o quizá por desgracia para el lector, este artículo se extiende un poco más para intentar explicar que cebras y dunas “son” iguales.
La pregunta pertinente es si podemos comprender unificadamente la formación de patrones listados en sistemas de naturaleza tan dispar como los antes mencionados. Admitamos que una cosa se entiende cuando se puede modelizar matemáticamente mediante un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones reproducen lo observado. Idealmente, los modelos permiten predecir nuevos comportamientos que, sin embargo, se observan en experimentos controlados. Pues bien, estos modelos existen –después hablaremos de ellos– y predicen resultados de experimentos concretos.
Siguiendo con los patrones listados, hay multitud de sistemas experimentales que los exhiben. Valga como ejemplo los sistemas de reacción-difusión en química y biología, entre los cuales podemos mencionar la reacción CIMA (chlorite-iodide-malonic acid) entre reservas de reactivos continuamente renovados, o el crecimiento de poblaciones de bacterias (como Escherichia coli, Salmonella typhimurium o Bacillus subtilis) bajo el suministro controlado de nutrientes.
Llama la atención que un sistema químico y uno biológico puedan ser clasificados dentro de una misma categoría. En el caso que nos ocupa, eso quiere decir que la dinámica que conduce a la formación de patrones en ambos sistemas viene regida por los mismos fenómenos básicos: reacción y difusión. Por supuesto, en un caso la reacción involucra reactivos químicos y en el otro nutrientes y seres vivos. Pero resulta aún más sorprendente el hecho de que tanto sistemas de reacción-difusión, como otros sistemas en los que no existen reacción o difusión o ninguna de las dos (como la convección de Rayleigh-Bénard en fluidos, o la luz emitida por sistemas ópticos no lineales), sean descritos, en condiciones adecuadas, por ecuaciones iguales. Eso quiere decir que existe unauniversalidad en el fenómeno de la formación de patrones espaciales y que los detalles microscópicos (en el sentido de los procesos elementales que ocurren en un sistema particular) pierden relieve en favor de leyes macroscópicas que gobiernan el sistema como un todo. Es decir, las estructuras macroscópicas son la manifestación de un comportamiento colectivo sinergético, resultado de la cooperación y la competición de la dinámica de los elementos microscópicos.
Sin embargo, la universalidad de que hablamos no se restringe a los patrones listados, ¡si no todo eso sería muy aburrido! Un mismo sistema, sometido a condiciones diferentes, puede desarrollar patrones más complicados, como por ejemplo estructuras hexagonales, rómbicas, cuasicristalinas, estructuras localizadas (solitones, oscilones, breathers, etc.) o incluso comportamientos turbulentos (caos espaciotemporal). Desde el punto de vista de la modelización, ocurre lo mismo: un mismo modelo, dependiendo del valor numérico que se asigne a los parámetros que aparecen en él (y que es donde se registra, básicamente, la información sobre el sistema particular), permite reproducir los diversos patrones que se observan en los sistemas reales.
¿Cuál es, entonces, la base de la que tenemos que partir para modelizar estas estructuras? Si lo que queremos es una descripción universal, tendría que haber bastante, para comprender la formación, evolución y las propiedades de los patrones, con tener en cuenta un conjunto de elementos genéricos que han de ser necesariamente comunes a sistemas tan dispares. En esta descripción se caracteriza el estado del sistema mediante una función del espacio y del tiempo, usualmente llamada parámetro de orden, y se construye la ecuación que gobierna su evolución. A partir del parámetro de orden es posible determinar la evolución de la distribución espacial de las magnitudes de interés de un problema particular (las concentraciones de reactivos, la población de bacterias, la luz emitida por un láser, la distribución de pigmentos en la piel de la cebra, etc.). Por supuesto, estas leyes universales deberían poder ser obtenidas a partir de leyes microscópicas específicas de cada sistema.
¿Cuáles son estos elementos que comparten los sistemas formadores de patrones que tienen que ser incorporados en su descripción unitaria? Un rasgo común a todos los sistemas mencionados es que son disipativos y se encuentran fuera del equilibrio. Es decir, son sistemas abiertos que interaccionan con el entorno y ganan y pierden energía continuamente. Por eso, a los patrones que aparecen en él se les llama, genéricamente, estructuras disipativas. Hay más ingredientes en el problema, pero, para entenderlos, tendremos que hablar con un poco más de detalle. Veamos.
La evolución espaciotemporal de cualquier sistema viene regida por un conjunto de ecuaciones diferenciales que determinan unívocamente el estado del sistema en un instante cualquiera, a partir de unas condiciones iniciales. Cuando las ecuaciones de evolución del sistema son lineales, es decir, cuando las variables aparecen en ellas multiplicadas únicamente por constantes, rige el llamado principio de superposición. En virtud de éste, cualquier combinación lineal de soluciones de las ecuaciones es a su vez una solución. En términos más físicos, eso implica que, en un sistema lineal, el efecto último de la acción combinada de dos causas diferentes es la mera superposición de los efectos de cada causa tomada individualmente. Así, el principio de superposición impide que el sistema exhiba comportamientos inesperados de carácter sinérgico. Resulta esencial, pues, que la interacción tenga un carácter no lineal para que la cooperación o la competición entre los elementos constituyentes puedan tener lugar. ¿Pero cómo aparece la no linealidad en los sistemas?
En realidad, hay pocas leyes realmente lineales en la naturaleza. Que una ley sea lineal significa que existe una proporcionalidad exacta entre causa y efecto: a valor doble de la causa corresponde un valor doble del efecto. El carácter lineal de las leyes suele ser, sin embargo, una aproximación. Consideremos, por ejemplo, un muelle: si no ejercemos en él ninguna fuerza, está en reposo, que es el estado de equilibrio. Si ahora alargamos el muelle, vemos que aparece una fuerza de reacción que tiende a acortarlo y, por tanto, a devolverlo a la posición de equilibrio, y que aparece una oscilación al soltarlo. Cuando el desplazamiento es lo suficientemente pequeño, la fuerza le resulta proporcional (ley de Hooke) y es, por tanto, lineal. Pero cuando el desplazamiento no es tan pequeño, la ley de Hooke ya no se verifica. En esta situación, para alargarlo el doble tenemos que hacer una fuerza que no será el doble que antes: la fuerza adquiere una dependencia no lineal con el desplazamiento. Valga este ejemplo para afirmar que la mayoría de los sistemas son intrínsecamente no lineales cuando se los aleja lo bastante del estado de equilibrio. Pero hay otras formas de introducir la no linealidad, como mediante mecanismos de retroalimentación, con los que la causa modifica su valor en función del efecto. Así pues, la presencia de términos no lineales en las ecuaciones de evolución de los sistemas no es, ni de lejos, un fenómeno extraordinario. Respecto a la forma específica de la no linealidad, hay, no hace falta decirlo, infinitas posibilidades, pero, a menudo, aquélla resulta relativamente poco importante en el sentido de que sólo modifica el detalle de los resultados.
Por otra parte, como las estructuras disipativas muestran un alto grado de orden espacial, es necesaria la existencia de algún mecanismo de transferencia de información desde un punto a otro del espacio. Dicho de otra forma, es imprescindible que haya algún mecanismo de no localidad. Ejemplos de ello son la difusión en sistemas químicos o la difracción en sistemas ópticos.
Por último, y como ya se avanzó, los sistemas disipativos pierden energía, lo que hace que tiendan al equilibrio térmico, donde todas las estructuras desaparecen. Por eso resulta imprescindible aportar energía al sistema para mantenerlo lejos del equilibrio térmico, que es el dominio en el que la no linealidad puede provocar la ruptura espontánea de simetría y hacer aparecer comportamientos complejos.
Con estos elementos (aportación y disipación de energía, no localidad y no linealidad) se pueden formular ecuaciones de evolución del parámetro de orden, relativamente sencillas, algunas de las cuales, como la de Ginzburg-Landau o la de Swift-Hohenberg, representan el papel de paradigmas de ciencia no lineal. A menudo, estas ecuaciones se introducen a partir de argumentos puramente heurísticos. Esto tiene que ser así necesariamente cuando se consideran sistemas muy complicados de los que se desconoce el detalle de las leyes microscópicas que los rigen (piensen, por ejemplo, en la formación de estructuras en colonias bacterianas). Lo mismo pasa cuando se trata de sistemas en que las ecuaciones microscópicas, aunque bien conocidas, son tan complicadas que su estudio resulta inabordable. En estos casos las ecuaciones de parámetro de orden representan, de facto, el papel de leyes que gobiernan la formación de las estructuras disipativas. No deja de ser sorprendente que las leyes microscópicas puedan ser ignoradas.
Afortunadamente, en otras ocasiones las ecuaciones de parámetro de orden pueden ser formalmente deducidas a partir de primeros principios. Un ejemplo lo constituyen los sistemas ópticos no lineales. Estas deducciones sirven para dar una base conceptual más firme a las ecuaciones de parámetro de orden (que en estos casos son deducidas y no postuladas), porque muestran rigurosamente el comportamiento sinergético de una multitud de elementos. Con todo, no deja de ser fascinante que cantidades ingentes de partículas sujetas a las ciegas fuerzas de la naturaleza sean capaces de organizarse en patrones de actividad cooperativa descriptibles en términos de uno o unos pocos parámetros de orden.
Vemos, pues, que en la ciencia no lineal existe un cambio de enfoque respecto a la ciencia tradicional, ya que, al menos en cierto sentido, se ha pasado del enfoque analítico que ha dominado la ciencia desde el Renacimiento, a un enfoque más global, holístico, en que se considera el sistema como un todo.
Insistimos en esta idea: una de las enseñanzas que podemos extraer de este cambio de enfoque es la oposición existente entre lo microscópico, entendido como la dinámica individual de cada constituyente de un conjunto autoorganizado, y la dinámica del conjunto. La dinámica microscópica viene regida por leyes que dependen del tipo de interacción particular (electromagnética, química, mecánica, etc.), pero este carácter específico se diluye en el comportamiento macroscópico, ya que éste viene regido por leyes universales. Por supuesto, no es lo mismo un sistema químico que óptico (ni una cebra que una duna), pero la diferencia aparece únicamente en los coeficientes de las ecuaciones de parámetro de orden y no en su estructura. Así, los sistemas macroscópicos autoorganizados se comportan siguiendo leyes que les son propias y que son prácticamente independientes de las leyes específicas del nivel inferior de organización, el nivel microscópico.
Sistemas de reacción-difusión
En un artículo fundacional publicado en 1952, Alan Turing propuso un sencillo modelo químico para describir la morfogénesis, es decir, el proceso por el cual un zigoto adquiere forma y se convierte en embrión. El modelo involucra dos sustancias A y B sometidas a procesos de reacción y de difusión. A través de la reacción unas sustancias químicas se transforman en otras en un proceso dinámico. En el modelo de Turing la presencia de A contribuye al incremento tanto de la concentración de A como de B (se dice que A es unactivador) mientras que B actúa de manera opuesta (se trata de un inhibidor). La difusión, por su parte, representa la tendencia natural de los sistemas materiales a homogeneizar su distribución espacial: piensen, por ejemplo, cómo se comporta una gota de tinta cuando se deja caer en el agua. Un hecho importante es que todas las sustancias no se difunden con la misma eficiencia. Lo que Turing demostró es que si el inhibidor B se difunde más que el activador A, el sistema puede desarrollar estructuras espaciales de manera espontánea a partir de una situación inicial espacialmente uniforme. Este hecho se llama ruptura espontánea de simetría espacial. Hubo que esperar hasta 1990 para que las predicciones de Turing fueran demostradas experimentalmente.
Las figuras muestran patrones espirales obtenidos experimentalmente en dos sistemas absolutamente dispares. En una reacción química (reacción de Belusov-Zhabotinskii) y en un experimento realizado con células del musgo Dictyostelium discoideum. La similitud de las estructuras es absolutamente impresionante.
Los modelos de reacción-difusión son utilizados para comprender la transmisión de ondas neuronales al corazón, el crecimiento de tumores cerebrales y la aparición de patrones ecológicos y bacterianos, entre otras. Los sistemas de reacción-difusión muestran una variedad impresionante de patrones, desde los sencillos listados hasta patrones espirales, pasando por patrones periódicos de diferentes simetrías. Así mismo, dependiendo de los parámetros del problema, los patrones pueden ser estáticos o dinámicos.
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